Un nuevo descubrimiento puede revolucionar la comprensión de décadas de jerarquías integrables


Los procesos en la naturaleza a menudo se pueden describir mediante ecuaciones. En muchos casos no triviales, es imposible encontrar las soluciones exactas de estas ecuaciones. Sin embargo, algunas ecuaciones son mucho más sencillas de manejar debido a sus simetrías extremas. Una clase importante de tales ecuaciones está dada por los sistemas integrables. Los sistemas integrables son conocidos por ser una herramienta universal en física teórica y matemáticas. Han demostrado ser extremadamente útiles en diversas áreas, como la mecánica estadística, las teorías de calibre, la gravedad cuántica y las ondas no lineales, y son particularmente importantes en la geometría moderna.

Figura 1. El teorema principal describe la relación entre las soluciones de las jerarquías KdV y BKP. Las funciones tau se pueden identificar después de un simple cambio de variables. Crédito: Instituto de Ciencias Básicas

Por alguna razón misteriosa, la integrabilidad a menudo está estrechamente relacionada con la capacidad de solución. Es decir, cuando un problema de geometría se puede relacionar con un sistema integrable, tarde o temprano siempre se puede resolver por completo. Hay varios tipos de sistemas integrables, y se construyen diferentes métodos poderosos para resolverlos. Además, identificar las relaciones entre diferentes sistemas integrables nos permite aplicar varios métodos para resolver estos problemas.

Entre las diferentes familias de sistemas integrables, las jerarquías integrables de tipo solitónico tienen particularmente muchas aplicaciones. Podría decirse que el ejemplo más importante lo da la jerarquía de Kadomtsev-Petviashvili (KP), que se describe mediante una torre infinita de ecuaciones diferenciales parciales. El primero de ellos fue introducido en 1970 por dos físicos, Kadomtsev y Petviashvili, para la descripción de las ondas acústicas en plasma. La ecuación KP se introdujo como una deformación de la ecuación de Korteweg-de Vries (KdV), que describe las olas en superficies de aguas poco profundas. Más generalmente, toda la jerarquía KdV describe una reducción de la jerarquía KP.

La teoría de las jerarquías integrables fue desarrollada activamente por Date, Jimbo, Kashiwara, Miwa y Sato de la Universidad de Kyoto en la década de 1980. Encontraron una relación fundamental entre las jerarquías integrables, la teoría de la representación de las álgebras de Lie de dimensión infinita y el formalismo de campo libre. En particular, describieron las soluciones de las jerarquías en términos de funciones tau, que son funciones formales de infinitas variables.

En cuanto a la solución de la jerarquía KdV, la función tau de Kontsevich-Witten fue construida por Edward Witten y Maxim Kontsevich. Desempeña un papel especial en la física matemática moderna por su descripción de la gravedad topológica bidimensional. Otra función tau de la jerarquía integrable KdV es el modelo de Brezin-Gross-Witten, que se introdujo en la teoría de calibre de celosía hace 40 años. Estas dos funciones tau tienen una interpretación de geometría enumerativa natural; se encuentran entre las funciones tau mejor estudiadas de las jerarquías solitónicas integrables.

Recientemente han aparecido algunos indicios de que el KdV también puede tener una relación natural con la jerarquía KP de tipo B (BKP), que está asociada con el grupo de simetría ortogonal. De hecho, en un artículo reciente de Mironov y Morozov se observó que la función tau de Kontsevich-Witten tiene una expansión simple en términos de las funciones Q de Schur, que se sabe que están estrechamente relacionadas con la jerarquía BKP. Este resultado fue generalizado por Alexander Alexandrov a una familia de funciones tau KdV relacionadas con el modelo Brezin-Gross-Witten. Sobre la base de estas expansiones, Alexander Alexandrov ha conjeturado (para la función tau de Kontsevich-Witten) y demostrado (para la función tau de Brezin-Gross-Witten) que estas funciones tau de KdV también resuelven la jerarquía BKP.

Estos resultados han llevado a la pregunta: ¿Cuál es la relación más general entre las jerarquías KdV y BKP? La respuesta a esta pregunta la dio recientemente Alexander Alexandrov del Centro de Geometría y Física del Instituto de Ciencias Básicas (IBS). Es decir, demostró que cualquier función tau de KdV resuelve la jerarquía BKP.

Hay varias formas diferentes de relacionar las jerarquías KdV y BKP. En particular, ya en los años 80 Date, Jimbo, Kashiwara y Miwa (DJKM) describieron la identificación de la jerarquía KdV con la 4-reducción de BKP. Un nuevo resultado, obtenido por Alexander Alexandrov, es mucho más simple y elegante que cualquiera de las relaciones previamente conocidas y proporciona una conexión nueva y fundamental entre dos jerarquías integrables básicas de tipo solitónico. Como la teoría anterior de DJKM fue una vez una parte clásica de la física matemática y se creía que estaba completa, el nuevo desarrollo de esta teoría de Alexandrov fue inesperado para la comunidad matemática.

Este resultado hace que las funciones Q de Schur sean una base natural para una expansión de las funciones tau de KdV. Tal expansión puede ayudar a encontrar nuevas propiedades de las funciones tau de KdV. Por ejemplo, la expansión de las funciones Q de Schur de las funciones tau de Kontsevich-Witten y Brezin-Gross-Witten tienen una forma especial: describen las llamadas funciones tau BKP hipergeométricas. Se sabe que esta clase de funciones tau, introducida por Orlov, está relacionada con una clase interesante de invariantes de geometría enumerativa, a saber, los números de espín de Hurwitz. Por lo tanto, la identificación de las funciones tau de KdV con las soluciones de la jerarquía BKP conduce a la nueva e inesperada identificación entre dos clases diferentes de invariantes de geometría enumerativa, los números de intersección en los espacios de módulos y los números de espín de Hurwitz.

Alexander Alexandrov espera que la identificación de las funciones tau de KdV con las soluciones de la jerarquía BKP nos lleve a muchos resultados nuevos en geometría enumerativa y física matemática.

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